位数\(\,p\,\)の元\(\,g\,\)は，位数\(\,p\,\)の巡回群\(\,\langle g\rangle\,\)を生成するので，定理は

\(\,G\,\)の位数が素数\(\,p\,\)で割り切れるならば，\(\,G\,\)は位数\(\,p\,\)の部分群を持つ

とも言い換えられます。

シローの定理の主張の一部は，有限群\(\,G\,\)が素数\(\,p\,\)で割り切れるならば，\(\,G\,\)はシロー\(\,p\,\)部分群を持つなので，ある意味シローの定理の弱い形とも言えます。

実際にシローの定理からコーシーの定理を簡単に導く証明もここで紹介しています。

この記事では，主に次の\(\,3\,\)つの証明を紹介します。

• 不動点による証明(Mckay)
• シローの定理による証明
• 帰納法による証明

このうち，群の前提知識をあまり必要とせず，かつ美しい証明は不動点による証明です。

この証明はJames H. Mckayさんの参考文献\([1]\)によるものです。

\(1\,\)ページの論文なので，余裕のある方は元論文を読んでみることをおススメします(参考文献のリンクから無料で見れます)。

またその証明の\(\,p=2\,\)の場合は簡単かつ，イメージしやすいものとなっています。

そこで次節でまず\(\,p=2\,\)の証明を確認し，その後それを一般化した，不動点による証明を解説します。

\(p=2\,\)のとき

有限群\(\,G\,\)のある元に対して，その逆元はただ一つだけ存在することから，群表の各列に単位元\(\,1\,\)はそれぞれちょうど一回ずつ現れます。

つまり群表全体における\(\,1\,\)の数は\(\,|G|\,\)個です。

このうち群表の対角線上にある\(\,1\,\)の個数を\(\,r\,\)とおき，そうでない\(\,1\,\)の個数を\(\,s\,\)とおきます。

※\(g^2\,\)の演算結果を表す方の対角線です。

明らかに\(\,|G|=r+s\,\)ですね。

このとき\(\,s\,\)は偶数になります。

なぜなら\(\,G\,\)の元\(\,a,b\,\)について\(\,ab=1\,\)なら，\(\,ba=b(ab)b^{-1}=1\,\)となることから，\(\,1\,\)は対角線を軸にして線対称に現れるからです。

そこで\(\,|G|\,\)を\(\,2\,\)で割り切れる，すなわち偶数と仮定すると，\(\,r\,\)も偶数になります。

少なくとも\(\,1\cdot1=1\,\)ですので，\(\,r\not=0\,\)となり，偶数であることも合わせると\(\,r\geq 2\,\)です。

これは，単位元ではない\(\,g\in G\,\)で\(\,g^2=1\,\)を満たすものの存在を意味するので，題意は示されました。\(\quad\square\)

不動点による証明(Mckay)

それでは前節の証明を一般化していきましょう。

群表とは直積\(\,G\times G\,\)の各点に演算結果を当てはめたものと考えられるので，もっと拡張して\(\,G^{p}\,\)に演算結果を当てはめた高次元の群表を考えましょう。

この高次元群表の中で，単位元\(\,1\,\)が出現するところとは

\(\,S=\{(a_1,\cdots,a_p)\in G^{p}\,|\,a_1\cdots a_p=1\}\,\)

の元のことですね。

この\(\,S\,\)の元は\(\,a_1,\ldots,a_{p-1}\,\)を適当に選んで，最後の元\(\,a_p\,\)だけは\(\,a_p=(a_1\cdots a_{p-1})^{-1}\,\)と選ぶことで作ることができます。

よって\(\,a_1,\ldots,a_{p-1}\,\)の選び方から，高次元群表全体における\(\,1\,\)の個数は\(\,|S|=|G|^{p-1}\,\)です。

このうち高次元群表の対角線上にある\(\,1\,\)の個数を\(\,r\,\)とおき，そうでない\(\,1\,\)の個数を\(\,s\,\)とおきます。

この対角線はもちろん\(\,g^p\,\)の演算結果を表す対角線です。

明らかに\(\,|G|^{p-1}=r+s\,\)で，\(\,|G|^{p-1}\,\)は仮定より\(\,p\,\)で割り切れます。

さらにこのとき\(\,s\,\)も\(\,p\,\)で割り切れることが次のように分かります。

対角線上にない\(\,(a_1,a_2,\cdots,a_p)\in S\,\)を一つずらした\(\,(a_2,\cdots,a_p,a_1)\,\)についても，\(\,a_1\cdots a_p=1\,\)より，

となるので，\(\,(a_2,\cdots,a_p,a_1)\in S\,\)となります。

すなわち巡回置換\(\,\sigma=(12\cdots p)\,\)によって一つずらしても，\(\,(a_{\sigma(1)},\cdots,a_{\sigma(p)})\in S\,\)となるということです。

これをひたすら繰り返すと\(\,(a_1,a_2,\cdots,a_p)\in S\,\)に対して，それ自身も含めた\(\,p\,\)個の元\(\,(a_{\sigma^{k}(1)},\cdots,a_{\sigma^{k}(p)})\,\,(k=0,\ldots,p-1)\,\)が\(\,S\,\)に属することが分かります。

これらをカウントする上で大事なのが，その\(\,p\,\)個の元が重複していないかです。

仮に重複しており，\(\,(a_{\sigma^{i}(1)},\cdots,a_{\sigma^{i}(p)})=(a_{\sigma^{j}(1)},\cdots,a_{\sigma^{j}(p)})\,\,(i\not=j,\,\,i,j=0,\ldots,p-1)\,\)となったとしましょう。

両辺ずらし続けることで，\(\,(a_1,\cdots,a_n)=(a_{\sigma^{j-i}(p)},\cdots,a_{\sigma^{j-i}(p)})\,\)の形に帰着させます。

このとき\(\,p\,\)が素数であることから，\(\,\sigma^{j-i}\,\,(0\lt j-i\leq p-1)\,\)は長さ\(\,p\,\)の巡回置換のままです。

つまり\(\,1\,\)を固定すると，\(\,(1i_2\cdots i_p)\,\)(\(i_1,\ldots,i_p\,\)には\(\,1\sim p\,\)がそれぞれ一回ずつ現れる)の形になっており，

このとき\(\,(a_1,\cdots,a_n)=(a_{\sigma^{j-i}(p)},\cdots,a_{\sigma^{j-i}(p)})\,\)から

\(a_1=a_{i_2}=\cdots=a_{i_p}\)

となり，うまく並び変えると，

\(a_1=a_2=\cdots=a_p\)

です。

これは対角線上に\(\,(a_1,\cdots,a_p)\,\)がいることを意味し矛盾するので，さきほどの\(\,p\,\)個の元は重複していないことが分かります。

※例えば仮に\(\,p\,\)を素数でない\(\,4\,\)として考えると，\(\,(1234)^2=(13)(24)\,\)のように，共通する元のない二つ以上の巡回置換に分解される場合が出てくるため，\(\,p\,\)は素数である必要があります。

そのため高次元群表の単位元\(\,1\,\)のうち，対角線上にないものは，これらの異なる\(\,p\,\)個の元を一セットにして，数え上げることができるので，\(\,s\,\)は\(\,p\,\)の倍数となります。

以上より\(\,|G|^{p-1}=r+s\,\)から，\(\,r\,\)が\(\,p\,\)の倍数になることが言えました。

また明らかに\(\,(1,\cdots,1)\in S\,\)で，これはもちろん対角線上にあるので，\(\,r\not= 0\,\)であることを踏まえると，\(\,r\geq p\,\)です。

これは，単位元ではない\(\,g\in G\,\)で\(\,g^p=1\,\)を満たすものの存在を意味するので，題意は示されました。\(\quad\square\)

ちなみにタイトルの「不動点による証明」とは，要は\(\,\sigma\,\)を\(\,(a_1,\cdots,a_p)\in S\,\)に作用させたときの不動点が対角線上の\(\,1\,\)を表すことから名付けています。

このような不動点を利用した証明は数学においてかなり多く見られるので，気にかけておくと面白いです。

シローの定理による証明

シローの定理を使えば，コーシーの定理は瞬殺です。

有限群\(\,G\,\)の位数は素数\(\,p\,\)で割り切れるので，シローの定理から，\(\,G\,\)のシロー\(\,p\,\)部分群が存在します。

そのシロー\(\,p\,\)部分群には，少なくとも\(\,1\,\)つ，単位元でない元が存在するので，そのような元\(\,g\,\)を適当に\(\,1\,\)つ取ってきましょう。

シロー\(\,p\,\)部分群の位数は\(\,p\,\)べきなので，\(\,g\,\)の位数も\(\,p\,\)べきで\(\,p^d\,(d\gt 0)\)と書けます。

このとき元\(\,g^{p^{d-1}}\,\)は\(\,(g^{p^{d-1}})^{p}=g^{p^{d}}=1\,\)で，位数\(\,p\,\)の元なので証明終了です。\(\quad\square\)

帰納法による証明

位数\(\,|G|\,\)に関する帰納法で証明していきます。

\(|G|\,\)が\(\,p\,\)で割り切れるときの最小例は\(\,|G|=p\,\)の場合なので，まずはそのときを考えましょう。

このとき\(\,|G|=p\,\)より\(\,G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\,\)で，例えば\(\,1\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\,\)が位数\(\,p\,\)の元なので，コーシーの定理は成り立ちます。

後は\(\,|G|\lt n\,\)のとき成り立つと仮定して，\(\,|G|=n\,\)のときもコーシーの定理が成り立つことを証明するだけです。

二つに場合分けして証明します。

\([1]\,\)\(\,G\,\)が可換のとき

\(G\,\)から適当な単位元でない元\(\,g\,\)を取り，それが生成する部分群\(\,H=\langle g\rangle\,\)を考えましょう。

もし\(\,|H|\,\)が\(\,p\,\)で割り切れたら，\(\,g^{|H|/p}\,\)が位数\(\,p\,\)の元となるので，そうでないときを考えます。

このとき\(\,|G/H|=|G|/|H|=kp/|H|\,\)で，\(\,|H|\,\)は\(\,p\,\)で割り切れないので，\(\,|G/H|\,\)は\(\,p\,\)で割り切れます。

また\(\,|H|\not=1\,\)より，\(\,|G/H|\lt |G|\,\)です。

\(G\,\)は可換なので，\(\,G/H\,\)を商群と考えると帰納法の仮定から，商群において位数\(\,p\,\)の元\(\,xH\in G/H\,\)が存在します。

この代表元\(\,x\,\)を\(\,G\,\)において考えると，その位数\(\,d\,\)は\(\,p\,\)で割り切れます。

\(x^d=1\Rightarrow (xH)^d=1\,\)だからです。

よって元\(\,x^{d/p}\,\)は位数\(\,p\,\)の元となり，位数\(\,p\,\)の元の存在が言えました。

\([2]\,\)\(\,G\,\)が非可換のとき

\(G\,\)の類等式

\(|G|=|Z(G)|+\displaystyle \sum_{i=1}^{l}[G : Z(g_i)]\)

を考えましょう。

ただし，\(\,Z(G)\,\)は\(\,G\,\)の中心，\(\,g_1,\ldots,g_l\,\)は位数が\(\,1\,\)より大きい共役類の代表元，\(\,Z(g)\,\)は\(\,g\,\)の中心化群です。

ちなみに\(\,G\,\)は非可換という仮定から，\(\,|Z(G)|\not=|G|\,\)であるため，\(\,g_1,\ldots,g_l\,\)は確かに存在することに注意です。

もちろん\(\,g_1,\ldots,g_l\)の取り方から，\(\,[G:Z(g_i)]=|C(g_i)|\gt 1\,\)(\(\,C(g_i)\,\)は\(\,g_i\,\)の共役類)であるため，\(\,G\not=Z(g_i)\,\)です。

そのため\(\,|Z(g_i)|\,\)が\(\,p\,\)で割り切れてしまうと，帰納法の仮定から位数\(\,p\,\)の元を持つことが言えてしまうので，そうでない場合を考えます。

このとき再び\(\,[G:Z(g_i)]=kp/|Z(g_i)|\,\)より，各指数は\(\,p\,\)で割り切れます。

\(|G|\,\)も仮定より\(\,p\,\)で割り切れてしまうので，類等式から\(\,|Z(G)|\,\)も\(\,p\,\)で割り切れます。

\(|Z(G)|\lt G\,\)で帰納法の仮定から，\(\,Z(G)\,\)は位数\(\,p\,\)の元持つので，題意は示されました。

以上\(\,[1],[2]\,\)より題意は示されました。\(\quad\square\)

\(G\,\)が可換，非可換の場合に分けて証明しましたが，可換の場合は独立に帰納法を使わずに示すことも可能です。

その証明法を次節で取り扱っています。

可換群のときの証明

可換群のみに限ると次のように帰納法なしで証明することもできます。

まず有限可換群\(\,G\,\)の任意の元の位数は\(\,p\,\)で割り切れないとして良いです。

なぜなら割り切れてしまうような位数\(\,d\,\)の元\(\,g\in G\,\)が存在すると，\(\,g^{d/p}\,\)が位数\(\,p\,\)の元となるからです。

故に\(\,G\,\)の元の最大位数を\(\,m\,\)とおけば，それは\(\,p\,\)で割り切れません。

また\(\,n=|G|\,\)とおき，\(\,n\,\)個の\(\,G\,\)の元を\(\,g_1,\ldots,g_n\,\)と表すことにします。

これらを用いて写像\(\,f:(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{n}\to G\,\)を\(\,f(a_1,\ldots,a_{n})=g_{1}^{a_1}\cdots g_{n}^{a_n}\,\)と定めます。

well-defined性を確認する必要がありますが，\(\,m\,\)の取り方から\(\,g_{i}^{a_{i}+mk}=g^{a_{i}}\,\,(k\in \mathbb{Z})\,\)となるので大丈夫です。

また\(\,G\,\)は可換なので\(\,f\,\)は準同型で，そして明らかに全射です。

よって準同型定理から\(\,|G|=\dfrac{m^n}{|\mathrm{Ker}f|}\,\)となり，\(\,|G|\,\)は素数\(\,p\,\)で割り切れるとすると，\(\,m^n\,\)は\(\,p\,\)で割り切れることが分かります。

しかし\(\,m\,\)は\(\,p\,\)で割り切れないはずですので，矛盾です。

したがって題意は示されました。\(\quad\square\)

この章ではコーシーの定理の応用をKeith Conradさんの参考文献\([3]\)に沿って解説します。

このブログでは私が特に面白いと思った応用しか取り扱っていませんので，他にも知りたい方は元文献を読んでみてください。

またここで紹介した以外の面白い応用を知っている方はぜひ教えてください。加筆します。

\(p\,\)群に関する応用

※この節では一貫して\(\,G\,\)を自明でない有限群とします。

証明は簡単で，\(\,\Rightarrow\,\)についてはラグランジュの定理より明らかです。

逆の\(\,\Leftarrow\,\)については，もし有限群\(\,G\,\)が\(\,p\,\)群でないなら，\(\,|G|\,\)は他の素因数\(\,q(\not=p)\,\)を持ちます。

しかしコーシーの定理より，これは位数\(\,q\,\)の元の存在を意味するので前提に矛盾し，\(\,\Leftarrow\,\)は示されます。\(\quad\square\)

さらに次の定理2も成り立ちます。

これも証明は簡単で，\(\,|G|\,\)は何らかの素因数\(\,p\,\)を持つので，コーシーの定理から位数\(\,p\,\)の元を持ちます。

よって前提から単位元以外の元の位数はすべて\(\,p\,\)となり，さらに定理1よりこれは\(\,G\,\)が\(\,p\,\)群であることを意味し，証明終了です。\(\quad\square\)

ちなみに定理2の条件を満たすような群は

可換な場合\(\,\cdots\,(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n\,\)(有限アーベル群の基本定理よりこれに限ることが言えます)

非可換な場合\(\,\cdots\,\)\(\,\mathbb{F}_p\,\)上のHeisenberg群\(\,\mathrm{Heis}(\mathbb{F_p})\,\)(ただし\(\,p\not=2\))など

が挙げられます。

※Heisenberg群\(\,\mathrm{Heis}(\mathbb{F_p})\,\)の定義は

\(\,\mathrm{Heis}(\mathbb{F_p})\coloneqq \left\{\begin{pmatrix}1&b&c\\ 0&1&a\\ 0&0&1\end{pmatrix}\in \mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_p)\right\}\,\)

です。

確かにこれらは定理2の条件を満たしますが，単位元以外の元の位数がすべて等しいことを示すより，単位元以外の元の位数が位数\(\,p\,\)となることを示すことの方が簡単なので，定理2の使い所とは言い難いです。

しかし次節で定理2が輝くので，無駄な定理というわけではありません。

有限体の位数は\(\,p\,\)べきである

これは有限体\(\,F\,\)をその素体\(\,\mathbb{F}_p\,\)上のベクトル空間とみなすことで証明するのが王道ですが，コーシーの定理を用いて示すこともできます。

まず有限体\(\,F\,\)を加群として考えます。

このとき\(\,0\,\)でない元\(\,a,b\in F\,\)は同じ位数を持ちます。

なぜなら写像\(\,f:F\to F,\quad f(x)=\frac{b}{a}x\,\)を考えると，明らかに同型で\(\,f(a)=b\,\)となるからです。

故に定理2から\(\,F\,\)の位数は\(\,p\,\)べきとなります。\(\quad\square\)

今回の記事ではコーシーの定理(Cauchy’s theorem)を解説いたしました。

個人的には数学科の大学院試験で，コーシーの定理が背景となっている問題はよく見る印象です。

もし「説明がわかりにくい」などご要望・ご感想がありましたら，
X（旧:Twitter）で#サイエンティクスでつぶやいていただけると，できる限り対応します。

ここまで読んでいただき，ありがとうございました。

• \([1]\) McKay, James H. “Another Proof of Cauchy’s Group Theorem.” The American Mathematical Monthly, vol. 66, no. 2, 1959, pp. 119–119. JSTOR, https://doi.org/10.2307/2310010. Accessed 20 Sept. 2025.
• \([2]\) Keith Conrad.“Proof of Cauchy’s Theorem”.Keith Conrad’s Home Page.https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/cauchypf.pdf.2025-09-22参照
• \([3]\) Keith Conrad.“Consequences of Cauchy’s Theorem”.Keith Conrad’s Home Page.https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/grouptheory/cauchyapp.pdf.2025-10-03参照